João perdeu 20% do seu peso de tanto estudar para um concurso, após esse susto, começou a se alimentar melhor e acabou tendo dois aumentos sucessivos de 25% do seu peso nos dois meses seguintes a prova. Com o excesso de peso, resolveu entrar em regime e perdeu 30%. Qual o peso de João em relação ao peso que tinha no início?

Resolução:

0,8 . 1,25 . 1,25 . 0,7 = 0,875 (Valor Final do Peso)

1 - 0,875 = 0,125

Houve perda de 12,5% do peso inicial.

Fatoração

Complete com números os termos desconhecidos:











Resolução:

Basta fazer do final para o começo: 

F = 1 x 5 = 5
E = 5 x 5 = 25
D = 25 x 3 = 75
C = 75 x 2 = 150
A = 150 x B  -- aparentemente não teríamos como saber qual o valor de B, porém toda fatoração deve ser iniciada com o menor número primo possível e nesse caso como já tem um 2 na segunda linha e ele é o menor número prima, então o B só poderá também ser 2.
Logo B = 2, e

A = 150 x 2 = 300

Análise Combinatória

Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se, entre as 10, duas somente não podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva?

Resolução:

1°) Faremos a conta sem as duas substâncias que não podem se misturar. Dessa forma teremos que escolher 6 substâncias entre as 8 disponíveis. (Como tiramos duas: 10 - 2 = 8)

C(8,6) = 8! : [6!(8 - 6)!]
C(8,6) = (8 . 7 . 6!) :(6!2!)
C(8,6) = (8 . 7 ) : (2 . 1)
C(8,6) = 56 : 2
C(8,6) = 28

2°) Agora iremos escolher uma das substâncias que retiramos e escolher mais 5 das demais para formar as 6 substâncias.

C(8,5) = 8! : [5!(8 - 5)!]
C(8,5) = (8 . 7 .  6 . 5!) : (5!3!)
C(8,5) = (8 . 7 . 6) : (3 . 2)
C(8,5) = (8 . 7 . 6) : 6
C(8,5) = 8 . 7
C(8,5) = 56

3°) Agora fixamos a segunda substância teremos outra combinação de 5 em 8.
C(8,5) = 56
 
Logo teremos: 28 + 56 + 56 = 140

Ao todo teremos 140 formas de associar essas 6 substâncias sem causar explosão.

Estatística: média, moda e mediana

Um geógrafo está interessado em estudar a idade de trabalhadores  no campo de uma dada região. Para isto ele seleciona uma amostra aleatória de 10 trabalhadores, obtendo as seguintes idades: 42, 35, 27, 21, 55, 18, 27, 30, 21, 24. Encontre o que se pede.

a) A média das idades:
b) A moda das idades:
c) A mediana das idades:

Resolução:

a) Média = (45 + 35 + 27 + 21 + 55 + 18 + 27 + 30 + 21 + 24) / 10
Média = 300 / 10 = 30

A média das idades é 30 anos.

Obs: a média é a soma de todos os termos dividido pela quantidade de termos.

b) Moda = 21 e 27
18 --> aparece uma vez.
21 --> aparece duas vezes.
24 --> aparece uma vez.
27 --> aparece duas vezes.
30 --> aparece uma vez.
35 --> aparece uma vez.
55 --> aparece uma vez.
42 --> aparece uma vez.
 
Obs: moda é o valor (ou valores) que mais aparecem.

c) Para encontrar a mediana é necessário primeiro colocar os valores em ordem crescente.
18 - 21 - 21 - 24 - 27- 27 - 30 - 35 - 55 - 42
Mediana = 27

Obs: mediana é o termo (ou a média entre os termos) centrais.

TRF 1ª REGIÃO 2011 - MED

Denis investiu uma certa quantia no mercado de ações. Ao final do primeiro mês ele lucrou 20% do capital investido. Ao final do segundo mês, perdeu 15% do que havia lucrado e retirou o montante de R$ 5 265,00. A quantia que Denis investiu foi:

(A) R$ 3 200,00

(B) R$ 3 600,00

(C) R$ 4 000,00

(D) R$ 4 200,00

(E) R$ 4 500,00

Resolução: 

 Vamos chamar a quantia investida de C

 

1° mês: lucro de 20% (ou seja 20 : 100 = 0,2) sobre C. --- Lucro = 0,2C

Assim ele ficou com 100% de C + 20% de C = 120% de C  (ou seja, 1,2C)

Quantia ao final do 1° mês: 1,2C

2° mês: Observe que ele perdeu 15% ( ou seja, 15 : 100 = 0,15) APENAS do que havia lucrado. 

0,15 . 0,2C = 0,03C

Dessa forma, ao final do 1° mês ele tinha 1,2C e no final do 2° mês perdeu 0,03C ficando com R$ 5 265,00. 

Obs: quando temos a palavra "perder" está indicando uma subtração.

1,2C - 0,03C = 5 265,00

1,17C = 5 265,00

C = 5 265,00 : 1,17

C = 4 500,00

Logo, Denis investiu R$ 4500,00, ou seja, letra E

Obtenha o conjunto de todos os valores inteiros de K, de modo que K + 17 seja múltiplo de K - 4:

Resolução:

Dizer que (k + 17) é múltiplo de (k - 4) é o mesmo que (k + 17) ser divisível por (k - 4).

Lembre que toda divisão é uma fração!

Teremos então:  

Observe que um número pode ser escrito de várias formas. Por exemplo: o 10 podemos escrever como 2 x 5 ou 5 + 5 ou 12 - 2 = etc...

Assim, vamos escrever o 17 da forma 21 - 4. 

Arrumando os termos e separando as frações ficamos com:

Na primeira fração temos resultado igual a 1, pois o denominador = numerador.

Vamos analisar a segunda fração.

D (21) = {-21, -7, -3, -1, 1, 3, 7, 21}

Para descobrir o valor de k basta igualar (k - 4) a cada divisor de 21.

k - 4 = - 21

k = - 21 + 4

k = - 17

k - 4 = - 7

k = - 7 + 4

k = - 3

k - 4 = - 3

k = - 3 + 4

k = 1

k - 4 = - 1

k = - 1 + 4

k = 3

k - 4 = 1

k = 1 + 4

k = 5

k - 4 = 3

k = 3 + 4

k = 7

k - 4 = 7

k = 7 + 4

k = 11

k - 4 = 21

k = 21 + 4

k = 25

k = {- 17, -3, 1, 3, 5, 7, 11, 25}

Origem dos símbolos para operações

A primeira vez que os sinais + e - apareceram impressos nas operações de adição e subtração foi, provavelmente, num livro de Johann Widman, da Universidade de Leipzig, na Alemanhã, em 1298.

Muitos historiadores levantaram a hipótese de que os símbolos + e - tenham sua origem na prática mercantil, onde indicavam excesso e falta, respectivamente. O sinal de +, como uma abreviatura da palavra latina "et" (E), ainda que aparecendo com o traço descendente não bem na vertical, foi encontrado num manuscrito de 1417.

O símbolo X para multiplicação foi atribuído a William Oughtred, em 1631, no seu livro Clavis Mathematicae. Já o símbolo : para indicar divisão foi usado pela primeira vez pelo suíço Johann Heinrich Rahn, num livro de álgebra publicado em 1659,

Harold T. Davis. Tópicos de História da Matemática.

Computação. São Paulo: Atual, 1995

Missão Camelo

Imagine um grande deserto no qual existem apenas duas cidades. Uma delas, Bagoananah, é famosa por sua produção de bananas; a outra, Dubaibuína, pelo consumo dessa fruta. O transporte de bananas entre as duas cidades é feito pelo camelo Almacaque.

O condutor do camelo sabe, no entanto, que:

* as duas cidades estão a 1 mil Km de distância
* Almacaque só consegue carregar 1 mil bananas de cada vez
* Almacaque come uma banana por quilômetro

Sabendo-se que há 2 mil bananas em Bagdananah, quantas bananas poderemos levar até Dubaibuína?

Poderíamos pensar que não muito o que fazer. Se Almacaque for carregado com 1 mil bananas e viajar diretamente até o ponto de entrega.... bem, ele terá comido todas elas, e o total entregue será zero.

Espere! Há uma alternativa.

O camelo pode carregar algumas bananas, deixá-las em um posto de abastecimento do percurso, voltar para Bagdananah, pegar mais bananas e seguir novamente rumo a Dubaibuína. Nossa tarefa é descobrir como fazer isso da melhor maneira possível.

Aqui entra a engenhosidade Matemática.

Enquanto o total de bananas for maior que  1 mil, Almacaque terá que, necessariamente, voltar a Bagdananah.

Se Almacaque carregar 1 mil bananas por 1 Km, deixar 998 em um posto de abastecimento, voltar, pegar mais 1 mil bananas e voltar ao posto, ele terá transladado, em 1 Km, um total de 998 + 999 = 1997 bananas, ou seja, terá consumido 3 bananas para esse 1 Km rumo a Dubaibuína.

Observe que ele deixou 998 bananas na 1ª parada pois 1 banana ele come na ida, e a outra ele irá comer no retorno a Dubaibuína para pegar as outras 1 mil bananas.

Moral da história: enquanto houver mais de 1 mil bananas, Almacaque consumirá 3 bananas em cada 1 Km rumo a Dubaibuína. Quando tivermos 1 mil bananas, ele passará a consumir 1 banana por km nessa jornada.

Note que, como o camelo só pode carregar 1 mil bananas por vez, se tivermos mais de 1 mil bananas ele terá que retornar para buscar o restante. Com isso irá percorrer 3 Km (ida + volta + ida) e conseguirá transportar 1997 bananas.

Observe o quadro:

Km	Bananas Transportadas
1	1997
2	1994
3	1991
4	1988
5	1985
. . .	. . .
x	1000

Teremos então, uma Progressão Aritmética (P.A.), onde o 1° termo é 1997, o último termo é 1000 e a razão é - 3.

Dados:

a₁ = 1997

a_n  = 1000

r =  – 3

Termo Geral: a_n = a₁ + (n – 1) . r

1000 = 1997 + (n - 1) . (-3)

1000 = 1997 - 3n + 3

1000 = 2000 - 3n

1000 - 2000 = -3n

- 1000 = - 3n   ---> multiplica os dois lados por -1

1000 = 3n

n = 1000 / 3 ----> quociente: 333 e resto: 1

Isso significa que ele chega ao quilômetro 333 com 1001 bananas. Nesse ponto ele descarta essa 1 banana e leva as 1 mil bananas até Dubaibuína. 

Como ele já percorreu 333 km, estarão faltando 667 Km (1000 - 333 = 667). Já que ele come 1 banana a cada 1 km até chegar ao destino ele comerá 667 banana, restando dessa forma 333 bananas (1000 - 667 = 333).

Portanto, poderemos levar até Dubaibuína 333 bananas.

Observação:
Problema retirado do livro Qual o problema? de Marco Morioconi - Instituto Ciência Hoje - FAPERJ

Os trechos em roxo e rosa foram transcritos do livro. A tabela e os trechos em azul são considerações feitas por mim, por achar que seria de melhor entendimento do que a linguagem teórica utilizada no livro.

Na Terra dos Noves Fora

Noves fora é o resto da divisão por 9.

Vamos montar uma tabela:

0 noves fora 0	9 noves fora 0	18 noves fora 0	27 noves fora 0
1 noves fora 1	10 noves fora 1	19 noves fora 1	28 noves fora 1
2 noves fora 2	11 noves fora 2	20 noves fora 2	29 noves fora 2
3 noves fora 3	12 noves fora 3	21 noves fora 3	30 noves fora 3
4 noves fora 4	13 noves fora 4	22 noves fora 4	31 noves fora 4
5 noves fora 5	14 noves fora 5	23 noves fora 5	32 noves fora 5
6 noves fora 6	15 noves fora 6	24 noves fora 6	33 noves fora 6
7 noves fora 7	16 noves fora 7	25 noves fora 7	34 noves fora 7
8 noves fora 8	17 noves fora 8	26 noves fora 8	35 noves fora 8

Podemos perceber que os restos da divisão por 9 são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8

Mas como encontrar o resto da divisão por 9 de forma rápida e sem fazer a conta?

Repare que o resto será sempre a soma dos algarismos do dividendo, excluindo o 9.

Ex: 
14 noves fora 5, pois 1 + 4 = 5
29 noves fora 2, pois excluímos o 9 e sobra apenas o 2
145 noves fora 1, pois 4 + 5 = 9 (exclui) e sobra o 1
3863 noves fora 2, pois 6 + 3 = 9 (exclui) e 3 + 8 = 11 --> como ainda temos dois algarismos continuamos somando. 1 + 1 = 2

Pronto! Agora você já pode encontrar o resto da divisão por 9 ou saber se um número é divisível por 9 de forma simples e rápida.

Qual a metade de 2¹⁰⁰  ?

Resolução:

Essa é bem simples!!!!

Vamos usar a propriedade da potência: 

"Para dividir potências de mesma base, basta manter a base e subtrair os expoentes"

Metade --> estamos dividindo por 2

2¹⁰⁰ / 2

Aplicando a propriedade teremos: 2^{100 – 1} = 2 ⁹⁹   

Concurso Magistério - Professor I - 2012

Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando um polígono regular ABCD..., conforme sugere a figura abaixo.

O número total de diagonais desse polígono regular ABCD..., é igual a:

(A) 54

(B) 44

(C) 35

(D) 27

Resolução:

Soma dos ângulos internos = (n - 2) . 180°

Si = (5 - 2) . 180°

Si = 3 . 180°
Si = 540°

Ângulo interno = Si / n

Ai = 540° / 5

Ai = 108°

Agora precisamos encontrar qual o ângulo interno do polígono formado (ABCD...), e com essa informação poderemos saber qual a quantidade de lados desse polígono.

Como podemos observar pela figura acima, dois ângulos internos do pentágono mais um ângulo interno do polígono ABCD... formam uma circunferência, ou seja, 360°.

108° + 108° +  x  = 360°

216° +  x  = 360°

x  =  360° - 216°

x  =  144°

Agora encontraremos a quantidade (n) de lados do polígono ABCD...

144° n = (n - 2) . 180°

144° n = 180°n - 360°

144°n - 180°n = - 360°

36°n = 360°

n = 360° / 36°

n = 10

Por fim, utilizamos a fórmula da diagonal:

d = (n - 3) . n / 2

d = (10 - 3) . 10 / 2

d = 7 . 10 / 2

d = 70 / 2

d = 35

Resposta: Letra C

Roda que rola não pega velocidade

Uma roda com 1 m de raio vai rodando por uma estrada horizontal plana a uma velocidade constante de 10 m por segundo, sem derrapar e sem quicar. Num instante fixo de tempo, algum ponto da roda está estacionário? Em caso afirmativo, qual?

Suponha que a roda é um disco circular,  a estrada é uma linha reta e a roda se encontra no plano vertical. "Estacionário" significa que a velocidade instantânea é igual a 0.

Resolução:

O ponto no aro da roda onde ela toca o solo tem velocidade instantânea igual a 0. A condição "sem derrapar" significa que o componente horizontal da velocidade neste ponto é igual a 0; a condição "sem quicar" significa que o componente vertical também é igual a 0.

Isso é interessante, porque o ponto em questão avança pela estrada a 10 m por segundo. Porém, ao se mover, o ponto na estrada corresponde a diferentes pontos na roda. E a pergunta era sobre pontos na roda, e não pontos na estrada. 

Uma análise mais detalhada, usando o cálculo, mostra que esse é o único ponto estacionário. Suponha que a roda comece com o seu centro em (0,1) e rode ao longo do eixo x para a direita. Coloque um ponto preto no aro, começando na origem (0,0) no instante 0.

Depois de um tempo t, a circunferência rodou 10t para a direita, portanto também girou no sentido horário num ângulo 10t. Portanto, o ponto preto estará agora no ponto:

(10t - sen 10t, 1 - cos 10t)

Seu vetor velocidade é a derivada com relação a t, que é:

(10 - 10 cos 10t, 10 sen 10t)

Isso se anula quando:

cos 10t = 1
sen 10t = 0

Isto é, 10t = 2n para n inteiro, ou t = n/5. Mas, nesses instantes, o ponto está nas posições (2n,0), que são os pontos sucessivos nos quais o ponto acerta o chão.

O mesmo tipo de cálculo mostra que qualquer ponto que não esteja no aro sempre terá velocidade diferente de 0.


Referência: Incríveis Passatempos Matemáticos, Stewart Ian

A origem do símbolo da raiz quadrada

O símbolo da raiz quadrada  √  tem uma aparência maravilhosamente antiga, como algo retirado de um manuscrito ancestral sobre alquimia. É o tipo de símbolo que os magos escreveriam, e as fórmulas que o contêm sempre parecem impressionantes e misteriosas.

Mas onde foi que ele surgiu?

Antes de 1 400, os autores matemáticos europeus costumavam usar a palavra "radix" para "raiz" ao se referirem às raízes quadradas. No fim da Idade Média, eles abreviaram a palavra com a letra inicial, um R maiúsculo cortado por um pequeno traço:

Os algebristas renascentistas italianos Girolamo Gardano, Lucas Pacioli, Rafael Bombelli e Tartaglia (Niccolò Fontana) costumavam usar esse símbolo.

O símbolo √  é, na verdade, uma letra r distorcida. Que coisa mais mundana! Foi publicado pela primeira vez no primeiro texto alemão sobre álgebra, Coss escrito por Christoff Rudoff em 1525, mas passaram-se muitos séculos até que ele se tornasse um símbolo padrão.

Referência: Incríveis passatempos matemáticos, Stewart Ian, ed Zahar

Magistério - 2012

Lucas resolveu brincar com todos os K anagramas da palavra ROBALO. Cortou K pedaços de papel e, em seguida, escreveu um único anagrama em cada um deles, de modo que cada papel tivesse um anagrama distinto de todos os outros. Todos os anagramas foram colocados numa sacola e em seguida retirados um a um. O número máximo de retiradas que Lucas pôde fazer, antes de obter o primeiro anagrama formado com três vogais juntas, é igual a:

(A) 72
(B) 120
(C) 288
(D) 360

Resolução:

Anagramas com repetição de letras:  Pm,n = m! / n!

Temos 6 letras e 2 repetições, logo:
P 6,2 =  6! / 2!
P 6,2 = (6 . 5 . 4 . 3 . 2!) / 2!
P 6,2 = 360  ---> Total de Anagramas formados

* Juntando as vogais teremos apenas uma posição, iremos considerar agora a palavra tendo apenas 4 posições e não mais as 6 posições iniciais. 

* E como a ordem das vogais não importa então faremos uma permutação das 3 vogais com 2 repetições. 

P4 . P3,2 =  4! . 3! / 2!
P4 . P3,2 =  (4 . 3 . 2 . 1) . 3
P4 . P3,2 =  24 . 3
P4 . P3,2 =  72 anagramas com vogais juntas


Então: 360 - 72 = 288

Resposta: Letra C

Magistério - 2012

A média aritmética das idades de 12 pessoas que estão num ônibus é igual a 34 anos. Se duas dessas pessoas, uma com 8 e outra com 10 anos, saírem do ônibus, a média aritmética das idades das 10 que permaneceram é igual a:

(A) 39 anos
(B) 38 anos
(C) 37 anos
(D) 36 anos

Resolução:

12 x 34 = 408
(a1 + a2 + a3 + ... + a10) + 8 + 10 = 408
 a1 + a2 + a3 + ... + a10 = 408 -18
 a1 + a2 + a3 + ... + a10 = 390
390 / 10 = 39 

Resposta: Letra A

Concurso Público Secretaria Municipal de Educação - Professor I - 2012

Diz-se que um número natural é botafoguense se todos os seus dígitos são iguais a 5. Por exemplo, 5 e 555 são botafoguenses, mas 545 não é. João somou em seu caderno os cinquenta primeiros números botafoguenses e encontrou como resultado um número n. O resto da divisão do número n por 1 000 é igual a:

(A) 700
(B) 650
(C) 550
(D) 400

Resolução:

5 + 55 + 555 = 615
(obs: os números somados acima são todos menores que o divisor 1000)

5 555 / 1000 --> resto 555
55 555 / 100 --> resto 555
555 555 / 1000 --> resto 555
E assim por diante...

Logo temos: 47 x 555 + 615 = 26 085 + 615 = 26 700

26 700 / 1000  --> resto 700

Resposta: letra A

Professor I - 2010

Se a área de um quadrado mede (2 + √3) m², a medida, em metros, da diagonal desse quadrado é igual a:

(A) √3 + 1
(B) √3 + 2
(C) √3 + 3
(D) √3 + 4

Resolução:

Área do quadrado = L²
2 + √3 = L²
√ (2 + √3) = L

Diagonal do quadrado = L√2
D = √ (2 + √3) . √2
D = √(4 + 2√3)   ---> Foi aplicado a distributiva.

Lembrando Produtos Notáveis:  (a + b)² = a² + 2.ab + b²

√(4 + 2√3) = √(1 + 2√3 + 3) = √(1 + √3)²

Aí está o "pulo do gato" !

Muita gente não consegue perceber que 4 + 2√3 é o mesmo que (1 + √3)²

Vejamos:
(1 + √3)² = 1² + 2 . 1 . √3 + √3²  =  1 + 2√3 + 3 = 4 + 2√3

Logo:

diagonal = 1 + √3

Resposta: Letra A

Concurso Público para provimento do cargo de Professor I

Seja  n o número total de anagramas da palavra BOTAFOGO, que contêm as 4 consoantes em ordem alfabética. O valor de n é igual a:
(A) 520
(B) 280
(C) 480
(D) 340

Resolução:

Primeiro encontramos o número total de anagramas (independente da restrição):

Pn,m = 8! / 3! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3! / 3! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 6 720 anagramas

Obs: Lembrando que 8 é a quantidade total de letras, e 3 é a quantidade de letras repetidas (nesse caso são três O's)


Para encontrarmos a quantidade de permutações das consoantes: P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
Dessa quantidade só nos serve apenas uma, que no caso é a ordem crescente das letras.

Logo:
(1 / 24) . 6 720 = 280

Resposta: Letra B