Concurso Magistério - Professor I - 2012

Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando um polígono regular ABCD..., conforme sugere a figura abaixo.

O número total de diagonais desse polígono regular ABCD..., é igual a:

(A) 54

(B) 44

(C) 35

(D) 27

Resolução:

Soma dos ângulos internos = (n - 2) . 180°

Si = (5 - 2) . 180°

Si = 3 . 180°
Si = 540°

Ângulo interno = Si / n

Ai = 540° / 5

Ai = 108°

Agora precisamos encontrar qual o ângulo interno do polígono formado (ABCD...), e com essa informação poderemos saber qual a quantidade de lados desse polígono.

Como podemos observar pela figura acima, dois ângulos internos do pentágono mais um ângulo interno do polígono ABCD... formam uma circunferência, ou seja, 360°.

108° + 108° +  x  = 360°

216° +  x  = 360°

x  =  360° - 216°

x  =  144°

Agora encontraremos a quantidade (n) de lados do polígono ABCD...

144° n = (n - 2) . 180°

144° n = 180°n - 360°

144°n - 180°n = - 360°

36°n = 360°

n = 360° / 36°

n = 10

Por fim, utilizamos a fórmula da diagonal:

d = (n - 3) . n / 2

d = (10 - 3) . 10 / 2

d = 7 . 10 / 2

d = 70 / 2

d = 35

Resposta: Letra C