Roda que rola não pega velocidade

Uma roda com 1 m de raio vai rodando por uma estrada horizontal plana a uma velocidade constante de 10 m por segundo, sem derrapar e sem quicar. Num instante fixo de tempo, algum ponto da roda está estacionário? Em caso afirmativo, qual?

Suponha que a roda é um disco circular,  a estrada é uma linha reta e a roda se encontra no plano vertical. "Estacionário" significa que a velocidade instantânea é igual a 0.

Resolução:

O ponto no aro da roda onde ela toca o solo tem velocidade instantânea igual a 0. A condição "sem derrapar" significa que o componente horizontal da velocidade neste ponto é igual a 0; a condição "sem quicar" significa que o componente vertical também é igual a 0.

Isso é interessante, porque o ponto em questão avança pela estrada a 10 m por segundo. Porém, ao se mover, o ponto na estrada corresponde a diferentes pontos na roda. E a pergunta era sobre pontos na roda, e não pontos na estrada. 

Uma análise mais detalhada, usando o cálculo, mostra que esse é o único ponto estacionário. Suponha que a roda comece com o seu centro em (0,1) e rode ao longo do eixo x para a direita. Coloque um ponto preto no aro, começando na origem (0,0) no instante 0.

Depois de um tempo t, a circunferência rodou 10t para a direita, portanto também girou no sentido horário num ângulo 10t. Portanto, o ponto preto estará agora no ponto:

(10t - sen 10t, 1 - cos 10t)

Seu vetor velocidade é a derivada com relação a t, que é:

(10 - 10 cos 10t, 10 sen 10t)

Isso se anula quando:

cos 10t = 1
sen 10t = 0

Isto é, 10t = 2n para n inteiro, ou t = n/5. Mas, nesses instantes, o ponto está nas posições (2n,0), que são os pontos sucessivos nos quais o ponto acerta o chão.

O mesmo tipo de cálculo mostra que qualquer ponto que não esteja no aro sempre terá velocidade diferente de 0.


Referência: Incríveis Passatempos Matemáticos, Stewart Ian