Questão 30: 1º Exame de Qualificação - Uerj 2013


Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor.

Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco
cartas, um exemplo de quadra:

O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é igual a:
(A) 624
(B) 676
(C) 715
(D) 720

Resolução:

São 13 possibilidades de formar uma quadra já que são 13 cartas diferentes de cada um dos 4 naipes.


Para escolha da 5ª carta:
São 52 cartas ao todo, retirando as 4 cartas escolhidas para formar a quadra sobram 48 cartas (52 - 4 = 48) para escolhermos a 5ª carta.


Pelo Princípio Multiplicativo:
"Se um um evento A pode ocorrer de x formas, e um evento B pode ocorrer de y formas, então a quantidade de formas de ocorrer o evento A e o evento B será x.y"


13.48 = 624 formas 

Logo a resposta é letra A.

Questão 38: 1º Exame de Qualificação - Uerj 2013

Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, utilizou-se um pedaço de papel com 10 cm de
largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às instruções abaixo.
         1 - Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, e abri-lo novamente: (Fig 1)

         2 - Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB’, de modo que B coincida com o ponto P do
         segmento MN: (Fig 2)
         3 - Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP: (Fig 3)

A área construída da bandeirinha APBCD, em cm2, é igual a:
(A) 25 (4 - √ 3 )
(B) 25 (6 - √ 3 )
(C) 50 (2 - √ 3 )
(D) 50 (3 - √ 3 )

Resolução:


Como podemos observar no esquema:
 P = B, logo AB = AB = 10cm
dessa forma, o triângulo ABP  é um triângulo equilátero (todos os lados congruentes).


Obs: congruentes --> possuem a mesma medida


Encontrando a área do triângulo equilátero:

1ª forma: Podemos aplicar a fórmula específica para encontrar a área de qualquer triângulo equilátero


Área = ( L²√ 3)/4   , onde L é a medida do lado

Área = (10²√ 3)/4
Área = (100√ 3)/4
Área = 25√ 3 cm²

2ª forma: Podemos aplicar Teorema de Pitágoras e depois a fórmula para encontrar a área de um triângulo qualquer


Teorema de Pitágoras: "A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa."

Área de um triângulo qualquer:
Área = bh/2     (base vezes altura dividido por dois)
Área = (10. 5√ 3)/2
Área = 5. 5√ 3
Área = 25√ 3 cm²


Para encontrarmos a área da bandeirinha basta tirarmos da área do retângulo ABCD inicial, a área do triângulo equilátero recortado (já encontrada acima).


Área do Retângulo = bh  (base vezes altura)
Área = 10 . 15 = 150 cm²

Área da Bandeirinha = Área do Retângulo - Área do Triângulo Equilátero
Área da Bandeirinha = 150 - 25√ 3
Área da Bandeirinha = 25(6 - √ 3) cm²   (aplicando evidência --> 150 = 25.6 e 25√ 3 = 25 . √ 3)

Logo, alternativa B

Questão 25: 1º Exame de Qualificação – Uerj 2013

Em um laboratório, duas torneiras enchem dois recipientes, de mesmo volume V, com diferentes

soluções aquosas. Observe os dados da tabela:

RECIPIENTE	SOLUÇÃO	TEMPO DE ENCHIMENTO (s)
R 1	ÁCIDO CLORÍDRICO	40
R 2	HIDRÓXIDO DE SÓDIO	60

O gráfico abaixo mostra a variação do volume do conteúdo em cada recipiente em função do tempo:

Considere que as duas torneiras foram abertas no mesmo instante a fim de encher um outro recipiente de volume V.

O gráfico que ilustra a variação do volume do conteúdo desse recipiente está apresentado em:

Resolução:

Conforme enunciado e gráfico, o volume é o mesmo (V).

R1 leva 40 segundos e R2 leva 60 segundos para encher completamente o mesmo volume (V).

Aplicando Regra de Três Simples, podemos descobrir que parte do volume V, enchemos em 1 segundo:

R1:                                                R2:

volume       tempo                          volume              tempo

    V  -----    40                                V  -----------   60

     x  -----     1                                 y   -----------    1

40x = 1V                                       60y = 1V

  x   = V/40                                      y   = V/60

A vazão de R1 é V/40
A vazão de R2 é V/60

Obs: Considere vazão como sendo a quantidade de volume preenchido em 1 segundo (Poderá encontrar outras definições, mas creio que essa é a mais simples de se compreender para este tipo de exercício).

Como as duas torneiras estão enchendo ao mesmo tempo o mesmo volume (V) temos que:

V/40 + V/60

Para resolvermos adição de fração, reduzimos ao mesmo denominador utilizando m.m.c (40,60) = 120

Obs: m.m.c --> menor múltiplo comum
Podemos encontra-lo por fatoração conjunta ou apenas comparando os múltiplos:
M(40): {0, 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400,...}

M(60): {0, 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, ...}

Como podemos observar o menor múltiplo em comum é o 120.

120 / 40 = 3 (portanto multiplicamos 3 pelo numerador, logo 3V)

120 / 60 = 2 (portanto multiplicamos 2 pelo numerador, logo 2V)

Assim temos:  

(3V + 2V)/120 =

5V/120   

Simplificamos temos: V/24

Logo, para encher o recipiente com as duas torneiras abertas juntas, levará 24 segundos e dessa forma já eliminamos as três primeiras alternativas (A, B e C)

Agora precisamos analisar o tipo de gráfico. Para isso, basta observarmos o gráfico apresentado no enunciado. O gráfico apresentado é de função linear, ou seja, o tempos gasto é proporcional ao volume a ser preenchido (Quanto maior o volume, maior o tempo gasto para preenche -lo).

Dessa forma, o gráfico das duas torneiras juntas também representará uma função linear, logo letra C.

Questão 22:  1º Exame de Qualificação - Uerj 2012

            Em uma atividade escolar, qualquer número X, inteiro e positivo, é submetido aos procedimentos

matemáticos descritos abaixo, quantas vezes forem necessárias, até que se obtenha como resultado

final o número 1.

Se X é múltiplo de 3, deve-se dividi-lo por 3.

Se X não é divisível por 3, deve-se calcular X - 1.

A partir de X = 11, por exemplo, os procedimentos são aplicados quatro vezes. Veja a sequência dos

resultados obtidos:

Iniciando-se com X = 43, o número de vezes que os procedimentos são utilizados é igual a:

(A) 7

(B) 8

(C) 9

(D) 10

Resolução:

43 não é divisível por 3  à Possui resto 1 (portanto teremos que diminuir 1, uma vez)

43 – 1 = 42

42 / 3 = 14

14 não é divisível por 3 à Possui resto 2 (portanto teremos que diminuir 1, duas vezes)

14 – 1 = 13

13 – 1 = 12

12 / 3 = 4

4 não é divisível por 3 à Possui resto 1 (portanto teremos que diminuir 1, uma vez)

4 – 1 = 3

3 / 3 = 1

Logo, teremos um total de 7 operações. (Letra A)

Poesia Matemática

Às folhas tantas
do livro matemático
um Quociente apaixonou-se
um dia
doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base
uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez de sua uma vida
paralela à dela
até que se encontraram
no infinito.
"Quem és tu?", indagou ele
em ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa."
E de falarem descobriram que eram
(o que em aritmética corresponde
a almas irmãs)
primos entre si.
E assim se amaram
ao quadrado da velocidade da luz
numa sexta potenciação
traçando
ao sabor do momento
e da paixão
retas, curvas, círculos e linhas sinoidais
nos jardins da quarta dimensão.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana
e os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E enfim resolveram se casar
constituir um lar,
mais que um lar,
um perpendicular.
Convidaram para padrinhos
o Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
sonhando com uma felicidade
integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones
muito engraçadinhos.
E foram felizes
até aquele dia
em que tudo vira afinal
monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum
frequentador de círculos concêntricos,
viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
uma grandeza absoluta
e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu
que com ela não formava mais um todo,
uma unidade.
Era o triângulo,
tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era uma fração,
a mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
e tudo que era espúrio passou a ser
moralidade
como aliás em qualquer
sociedade.

(Millôr Fernandes)