Concurso Magistério - Professor I - 2012

Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando um polígono regular ABCD..., conforme sugere a figura abaixo.

O número total de diagonais desse polígono regular ABCD..., é igual a:

(A) 54

(B) 44

(C) 35

(D) 27

Resolução:

Soma dos ângulos internos = (n - 2) . 180°

Si = (5 - 2) . 180°

Si = 3 . 180°
Si = 540°

Ângulo interno = Si / n

Ai = 540° / 5

Ai = 108°

Agora precisamos encontrar qual o ângulo interno do polígono formado (ABCD...), e com essa informação poderemos saber qual a quantidade de lados desse polígono.

Como podemos observar pela figura acima, dois ângulos internos do pentágono mais um ângulo interno do polígono ABCD... formam uma circunferência, ou seja, 360°.

108° + 108° +  x  = 360°

216° +  x  = 360°

x  =  360° - 216°

x  =  144°

Agora encontraremos a quantidade (n) de lados do polígono ABCD...

144° n = (n - 2) . 180°

144° n = 180°n - 360°

144°n - 180°n = - 360°

36°n = 360°

n = 360° / 36°

n = 10

Por fim, utilizamos a fórmula da diagonal:

d = (n - 3) . n / 2

d = (10 - 3) . 10 / 2

d = 7 . 10 / 2

d = 70 / 2

d = 35

Resposta: Letra C

Roda que rola não pega velocidade

Uma roda com 1 m de raio vai rodando por uma estrada horizontal plana a uma velocidade constante de 10 m por segundo, sem derrapar e sem quicar. Num instante fixo de tempo, algum ponto da roda está estacionário? Em caso afirmativo, qual?

Suponha que a roda é um disco circular,  a estrada é uma linha reta e a roda se encontra no plano vertical. "Estacionário" significa que a velocidade instantânea é igual a 0.

Resolução:

O ponto no aro da roda onde ela toca o solo tem velocidade instantânea igual a 0. A condição "sem derrapar" significa que o componente horizontal da velocidade neste ponto é igual a 0; a condição "sem quicar" significa que o componente vertical também é igual a 0.

Isso é interessante, porque o ponto em questão avança pela estrada a 10 m por segundo. Porém, ao se mover, o ponto na estrada corresponde a diferentes pontos na roda. E a pergunta era sobre pontos na roda, e não pontos na estrada. 

Uma análise mais detalhada, usando o cálculo, mostra que esse é o único ponto estacionário. Suponha que a roda comece com o seu centro em (0,1) e rode ao longo do eixo x para a direita. Coloque um ponto preto no aro, começando na origem (0,0) no instante 0.

Depois de um tempo t, a circunferência rodou 10t para a direita, portanto também girou no sentido horário num ângulo 10t. Portanto, o ponto preto estará agora no ponto:

(10t - sen 10t, 1 - cos 10t)

Seu vetor velocidade é a derivada com relação a t, que é:

(10 - 10 cos 10t, 10 sen 10t)

Isso se anula quando:

cos 10t = 1
sen 10t = 0

Isto é, 10t = 2n para n inteiro, ou t = n/5. Mas, nesses instantes, o ponto está nas posições (2n,0), que são os pontos sucessivos nos quais o ponto acerta o chão.

O mesmo tipo de cálculo mostra que qualquer ponto que não esteja no aro sempre terá velocidade diferente de 0.


Referência: Incríveis Passatempos Matemáticos, Stewart Ian

A origem do símbolo da raiz quadrada

O símbolo da raiz quadrada  √  tem uma aparência maravilhosamente antiga, como algo retirado de um manuscrito ancestral sobre alquimia. É o tipo de símbolo que os magos escreveriam, e as fórmulas que o contêm sempre parecem impressionantes e misteriosas.

Mas onde foi que ele surgiu?

Antes de 1 400, os autores matemáticos europeus costumavam usar a palavra "radix" para "raiz" ao se referirem às raízes quadradas. No fim da Idade Média, eles abreviaram a palavra com a letra inicial, um R maiúsculo cortado por um pequeno traço:

Os algebristas renascentistas italianos Girolamo Gardano, Lucas Pacioli, Rafael Bombelli e Tartaglia (Niccolò Fontana) costumavam usar esse símbolo.

O símbolo √  é, na verdade, uma letra r distorcida. Que coisa mais mundana! Foi publicado pela primeira vez no primeiro texto alemão sobre álgebra, Coss escrito por Christoff Rudoff em 1525, mas passaram-se muitos séculos até que ele se tornasse um símbolo padrão.

Referência: Incríveis passatempos matemáticos, Stewart Ian, ed Zahar

Magistério - 2012

Lucas resolveu brincar com todos os K anagramas da palavra ROBALO. Cortou K pedaços de papel e, em seguida, escreveu um único anagrama em cada um deles, de modo que cada papel tivesse um anagrama distinto de todos os outros. Todos os anagramas foram colocados numa sacola e em seguida retirados um a um. O número máximo de retiradas que Lucas pôde fazer, antes de obter o primeiro anagrama formado com três vogais juntas, é igual a:

(A) 72
(B) 120
(C) 288
(D) 360

Resolução:

Anagramas com repetição de letras:  Pm,n = m! / n!

Temos 6 letras e 2 repetições, logo:
P 6,2 =  6! / 2!
P 6,2 = (6 . 5 . 4 . 3 . 2!) / 2!
P 6,2 = 360  ---> Total de Anagramas formados

* Juntando as vogais teremos apenas uma posição, iremos considerar agora a palavra tendo apenas 4 posições e não mais as 6 posições iniciais. 

* E como a ordem das vogais não importa então faremos uma permutação das 3 vogais com 2 repetições. 

P4 . P3,2 =  4! . 3! / 2!
P4 . P3,2 =  (4 . 3 . 2 . 1) . 3
P4 . P3,2 =  24 . 3
P4 . P3,2 =  72 anagramas com vogais juntas


Então: 360 - 72 = 288

Resposta: Letra C

Magistério - 2012

A média aritmética das idades de 12 pessoas que estão num ônibus é igual a 34 anos. Se duas dessas pessoas, uma com 8 e outra com 10 anos, saírem do ônibus, a média aritmética das idades das 10 que permaneceram é igual a:

(A) 39 anos
(B) 38 anos
(C) 37 anos
(D) 36 anos

Resolução:

12 x 34 = 408
(a1 + a2 + a3 + ... + a10) + 8 + 10 = 408
 a1 + a2 + a3 + ... + a10 = 408 -18
 a1 + a2 + a3 + ... + a10 = 390
390 / 10 = 39 

Resposta: Letra A

Concurso Público Secretaria Municipal de Educação - Professor I - 2012

Diz-se que um número natural é botafoguense se todos os seus dígitos são iguais a 5. Por exemplo, 5 e 555 são botafoguenses, mas 545 não é. João somou em seu caderno os cinquenta primeiros números botafoguenses e encontrou como resultado um número n. O resto da divisão do número n por 1 000 é igual a:

(A) 700
(B) 650
(C) 550
(D) 400

Resolução:

5 + 55 + 555 = 615
(obs: os números somados acima são todos menores que o divisor 1000)

5 555 / 1000 --> resto 555
55 555 / 100 --> resto 555
555 555 / 1000 --> resto 555
E assim por diante...

Logo temos: 47 x 555 + 615 = 26 085 + 615 = 26 700

26 700 / 1000  --> resto 700

Resposta: letra A

Professor I - 2010

Se a área de um quadrado mede (2 + √3) m², a medida, em metros, da diagonal desse quadrado é igual a:

(A) √3 + 1
(B) √3 + 2
(C) √3 + 3
(D) √3 + 4

Resolução:

Área do quadrado = L²
2 + √3 = L²
√ (2 + √3) = L

Diagonal do quadrado = L√2
D = √ (2 + √3) . √2
D = √(4 + 2√3)   ---> Foi aplicado a distributiva.

Lembrando Produtos Notáveis:  (a + b)² = a² + 2.ab + b²

√(4 + 2√3) = √(1 + 2√3 + 3) = √(1 + √3)²

Aí está o "pulo do gato" !

Muita gente não consegue perceber que 4 + 2√3 é o mesmo que (1 + √3)²

Vejamos:
(1 + √3)² = 1² + 2 . 1 . √3 + √3²  =  1 + 2√3 + 3 = 4 + 2√3

Logo:

diagonal = 1 + √3

Resposta: Letra A

Concurso Público para provimento do cargo de Professor I

Seja  n o número total de anagramas da palavra BOTAFOGO, que contêm as 4 consoantes em ordem alfabética. O valor de n é igual a:
(A) 520
(B) 280
(C) 480
(D) 340

Resolução:

Primeiro encontramos o número total de anagramas (independente da restrição):

Pn,m = 8! / 3! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3! / 3! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 6 720 anagramas

Obs: Lembrando que 8 é a quantidade total de letras, e 3 é a quantidade de letras repetidas (nesse caso são três O's)


Para encontrarmos a quantidade de permutações das consoantes: P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
Dessa quantidade só nos serve apenas uma, que no caso é a ordem crescente das letras.

Logo:
(1 / 24) . 6 720 = 280

Resposta: Letra B