Missão Camelo

Imagine um grande deserto no qual existem apenas duas cidades. Uma delas, Bagoananah, é famosa por sua produção de bananas; a outra, Dubaibuína, pelo consumo dessa fruta. O transporte de bananas entre as duas cidades é feito pelo camelo Almacaque.

O condutor do camelo sabe, no entanto, que:

* as duas cidades estão a 1 mil Km de distância
* Almacaque só consegue carregar 1 mil bananas de cada vez
* Almacaque come uma banana por quilômetro

Sabendo-se que há 2 mil bananas em Bagdananah, quantas bananas poderemos levar até Dubaibuína?

Poderíamos pensar que não muito o que fazer. Se Almacaque for carregado com 1 mil bananas e viajar diretamente até o ponto de entrega.... bem, ele terá comido todas elas, e o total entregue será zero.

Espere! Há uma alternativa.

O camelo pode carregar algumas bananas, deixá-las em um posto de abastecimento do percurso, voltar para Bagdananah, pegar mais bananas e seguir novamente rumo a Dubaibuína. Nossa tarefa é descobrir como fazer isso da melhor maneira possível.

Aqui entra a engenhosidade Matemática.

Enquanto o total de bananas for maior que  1 mil, Almacaque terá que, necessariamente, voltar a Bagdananah.

Se Almacaque carregar 1 mil bananas por 1 Km, deixar 998 em um posto de abastecimento, voltar, pegar mais 1 mil bananas e voltar ao posto, ele terá transladado, em 1 Km, um total de 998 + 999 = 1997 bananas, ou seja, terá consumido 3 bananas para esse 1 Km rumo a Dubaibuína.

Observe que ele deixou 998 bananas na 1ª parada pois 1 banana ele come na ida, e a outra ele irá comer no retorno a Dubaibuína para pegar as outras 1 mil bananas.

Moral da história: enquanto houver mais de 1 mil bananas, Almacaque consumirá 3 bananas em cada 1 Km rumo a Dubaibuína. Quando tivermos 1 mil bananas, ele passará a consumir 1 banana por km nessa jornada.

Note que, como o camelo só pode carregar 1 mil bananas por vez, se tivermos mais de 1 mil bananas ele terá que retornar para buscar o restante. Com isso irá percorrer 3 Km (ida + volta + ida) e conseguirá transportar 1997 bananas.

Observe o quadro:

Km	Bananas Transportadas
1	1997
2	1994
3	1991
4	1988
5	1985
. . .	. . .
x	1000

Teremos então, uma Progressão Aritmética (P.A.), onde o 1° termo é 1997, o último termo é 1000 e a razão é - 3.

Dados:

a₁ = 1997

a_n  = 1000

r =  – 3

Termo Geral: a_n = a₁ + (n – 1) . r

1000 = 1997 + (n - 1) . (-3)

1000 = 1997 - 3n + 3

1000 = 2000 - 3n

1000 - 2000 = -3n

- 1000 = - 3n   ---> multiplica os dois lados por -1

1000 = 3n

n = 1000 / 3 ----> quociente: 333 e resto: 1

Isso significa que ele chega ao quilômetro 333 com 1001 bananas. Nesse ponto ele descarta essa 1 banana e leva as 1 mil bananas até Dubaibuína. 

Como ele já percorreu 333 km, estarão faltando 667 Km (1000 - 333 = 667). Já que ele come 1 banana a cada 1 km até chegar ao destino ele comerá 667 banana, restando dessa forma 333 bananas (1000 - 667 = 333).

Portanto, poderemos levar até Dubaibuína 333 bananas.

Observação:
Problema retirado do livro Qual o problema? de Marco Morioconi - Instituto Ciência Hoje - FAPERJ

Os trechos em roxo e rosa foram transcritos do livro. A tabela e os trechos em azul são considerações feitas por mim, por achar que seria de melhor entendimento do que a linguagem teórica utilizada no livro.