Questão 35: 1º Exame de Qualificação - Uerj 2013


Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o
nível de toxidez To,correspondente a dez vezes o nível inicial.

Leia as informações a seguir.
• A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias.
• O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação:

Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a
toxidez retorne ao nível inicial.
Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a:
(A) 30
(B) 32
(C) 34
(D) 36

Resolução:


Vamos considerar Ti como a toxidez inicial (antes da contaminação).
Sendo assim To = 10Ti , pois no enunciado diz que To corresponde a dez vezes o nível inicial.


Para retornar ao nível inicial temos que T(x) = Ti.


Substituindo, teremos:

Lembrando um pouco de Log:

Log _b a = x  assim, b^x = a

Onde:

a --> logaritmando     |  b --> base    | x --> logaritmo de a na base b

Obs: Se a base for omitida seu valor é 10

Propriedades:

*Produto:

Log (a . b) = Log a + Log b

* Divisão:

Log (a / b) = Log a - Log b

* Potência:

Log a^b  =  b . Log a

Log 1 = 0  pois qualquer número elevado a zero é igual a um (10⁰ = 1)

Log 10 = 1 pois qualquer número elevado a 1 é igual a ele mesmo (10¹ = 10)

Então voltando a nossa expressão, aplicando as propriedades de logaritmo teremos:

Log 1 - Log 10 = 0,1x . Log 1/2

0 - 1 = 0,1x . (Log 1 - Log 2)

- 1 = 0,1x . (0 - 0,3)   ---> lembrando que log 2 é dado no enunciado!

- 1 = 0,1x . (-0,3)

- 1 = - 0,03x

-1 / (-0,03) = x

33,333... = x

Logo apenas no 34º dia a toxidez retornará ao nível inicial, portanto resposta C