Questão 31: 1º Exame de Qualificação - Uerj 2012

Uma família comprou água mineral em embalagens de 20 L, de 10 L e de 2 L.  Ao todo, foram comprados 94 L de água, com o custo total de R$ 65,00.
Veja na tabela os preços da água por embalagem:

VOLUME DA EMBALAGEM (L)	PREÇO (R$)
20	10,00
10	6,00
2	3,00

Nessa compra, o número de embalagens de 10 L corresponde ao dobro do número de
embalagens de 20 L, e a quantidade de embalagens de 2 L corresponde a n.
O valor de n é um divisor de:
(A) 32
(B) 65
(C) 77
(D) 81

Resolução:

·         *Sistema de Equações

Informações:

VOLUME (L)	VALOR (R$)	QUANTIDADE DE EMBALAGENS
20	10	X
10	6	2x
2	3	n

Volume Total Comprado = 94 L

Gasto Total = R$ 65,00

Obs: no enunciado diz que a quantidade comprada de embalagens de 10L foi o dobro da quantidade de embalagens de 20L (que é x), logo se é o dobro, a quantidade de embalagens de 10L será 2x

VOLUME:

x embalagens de 20L + 2x embalagens de 10L + n embalagens de 2L = 94L de volume total à

20x + 2x . 10 + 2n = 94

20x + 20x + 2n = 94

40x + 2n = 94 à primeira equação

VALOR: 

x embalagens de 10,00 + 2x embalagens de 6,00 + n embalagens de 3,00 = 65,00 de gasto total  à

10x + 2x . 6 + 3n = 65

10x + 12x + 3n = 65

22x + 3n = 65  à segunda equação

SISTEMA DE EQUAÇÕES:

40x + 2n = 94

22x + 3n = 65

Utilizando o método da substituição:

1º) Escolhemos uma das equações e isolamos uma das incógnitas (letras):

è vou isolar x na primeira equação:  

40x + 2n = 94

        40x = 94 – 2n

            x = (94 – 2n) / 40  (simplificando por 2)

            x = (47 – n) / 20

2º) Substituímos na equação que sobrou:

è vou substituir o x por (47 – n) / 20 na segunda equação:  

22x + 3n = 65

22 (47 – n) / 20 + 3n = 65

Simplificando 22 por 2 e 20 por 2:

11 (47 – n) / 10 + 3n = 65

Aplicando distributiva (11 . 47 = 517 e 11 . ( – n) = – 11n)

(517 – 11n) / 10   +  3n  = 65

O denominador de 3n e de 65 é 1, então m.m.c (1,10) = 10, dessa forma, basta fazer 10 . 3n = 30n e 10 . 65 = 650, e depois eliminamos o denominador.

517 – 11n + 30n = 650

517 + 19n = 650

Passamos o 517 para o segundo membro (do outro lado do igual) com a operação inversa (ele estava positivo ficará negativo):

19n = 650 – 517

19n = 133

Passamos o 19 para o segundo membro (do outro lado do igual) com a operação inversa (ele estava multiplicando passará a dividir)

n = 133 / 19

n = 7

O único número das alternativas, que é divisível por 7 é o 77, portanto a resposta é letra C.