Questão 34 - 1º Exame de Qualificação - Uerj 2012

Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, retirou a última senha de atendimento do
dia, com o número 49. Verificou que havia 12 pessoas à sua frente na fila, cujas senhas
representavam uma progressão aritmética de números naturais consecutivos, começando
em 37.
Algum tempo depois, mais de 4 pessoas desistiram do atendimento e saíram do banco. Com
isso, os números das senhas daquelas que permaneceram na fila passaram a formar uma
nova progressão aritmética.
Se os clientes com as senhas de números 37 e 49 não saíram do banco, o número máximo de
pessoas que pode ter permanecido na fila é:
(A) 6
(B) 7
(C) 9
(D) 12

Resolução:

No enunciado diz que mais de 4 pessoas desistiram, ou seja, no mínimo 5 pessoas saíram da fila e que sobraram no mínimo 2 pessoas (o de senha 37 e o de senha 49)

Possibilidades:

13 - 5 (saem) =   8 pessoas sobraram na fila
13 - 6 (saem) =   7 pessoas sobraram na fila
13 - 7 (saem) =   6 pessoas sobraram na fila
13 - 8 (saem) =   5 pessoas sobraram na fila
13 - 9 (saem) =   4 pessoas sobraram na fila
13 - 10 (saem) = 3 pessoas sobraram na fila
13 - 11 (saem) = 2 pessoas sobraram na fila

Analisando as possibilidades, já podemos perceber que as únicas alternativas possíveis é a letra A (6 pessoas) ou letra B (7 pessoas).

Sabemos também, que as senhas continuaram em progressão aritmética.

É fácil perceber que as senhas aumentavam de 1 em 1:

Pessoa	1ª	2ª	3ª	4ª	5ª	6ª	7ª	8ª	9ª	10ª	11ª	12ª	13ª
Senha	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49

Portanto mesmo saindo algumas pessoas da fila a nova razão também deverá ser um número natural.

TERMO GERAL DA P.A.:
a_n = a₁ + (n – 1) . r

49 = 37 + (n - 1) . r

49 - 37 = (n - 1) . r

12 = (n - 1) . r

Portanto, para r ser um número natural, n - 1 deverá ser um divisor de 12, e assim a única opção possível é n = 7, assim 7 - 1 = 6 que é divisor de 12.

Logo, letra A