Estatística: média, moda e mediana

Um geógrafo está interessado em estudar a idade de trabalhadores  no campo de uma dada região. Para isto ele seleciona uma amostra aleatória de 10 trabalhadores, obtendo as seguintes idades: 42, 35, 27, 21, 55, 18, 27, 30, 21, 24. Encontre o que se pede.

a) A média das idades:
b) A moda das idades:
c) A mediana das idades:

Resolução:

a) Média = (45 + 35 + 27 + 21 + 55 + 18 + 27 + 30 + 21 + 24) / 10
Média = 300 / 10 = 30

A média das idades é 30 anos.

Obs: a média é a soma de todos os termos dividido pela quantidade de termos.

b) Moda = 21 e 27
18 --> aparece uma vez.
21 --> aparece duas vezes.
24 --> aparece uma vez.
27 --> aparece duas vezes.
30 --> aparece uma vez.
35 --> aparece uma vez.
55 --> aparece uma vez.
42 --> aparece uma vez.
 
Obs: moda é o valor (ou valores) que mais aparecem.

c) Para encontrar a mediana é necessário primeiro colocar os valores em ordem crescente.
18 - 21 - 21 - 24 - 27- 27 - 30 - 35 - 55 - 42
Mediana = 27

Obs: mediana é o termo (ou a média entre os termos) centrais.

TRF 1ª REGIÃO 2011 - MED

Denis investiu uma certa quantia no mercado de ações. Ao final do primeiro mês ele lucrou 20% do capital investido. Ao final do segundo mês, perdeu 15% do que havia lucrado e retirou o montante de R$ 5 265,00. A quantia que Denis investiu foi:

(A) R$ 3 200,00

(B) R$ 3 600,00

(C) R$ 4 000,00

(D) R$ 4 200,00

(E) R$ 4 500,00

Resolução: 

 Vamos chamar a quantia investida de C

 

1° mês: lucro de 20% (ou seja 20 : 100 = 0,2) sobre C. --- Lucro = 0,2C

Assim ele ficou com 100% de C + 20% de C = 120% de C  (ou seja, 1,2C)

Quantia ao final do 1° mês: 1,2C

2° mês: Observe que ele perdeu 15% ( ou seja, 15 : 100 = 0,15) APENAS do que havia lucrado. 

0,15 . 0,2C = 0,03C

Dessa forma, ao final do 1° mês ele tinha 1,2C e no final do 2° mês perdeu 0,03C ficando com R$ 5 265,00. 

Obs: quando temos a palavra "perder" está indicando uma subtração.

1,2C - 0,03C = 5 265,00

1,17C = 5 265,00

C = 5 265,00 : 1,17

C = 4 500,00

Logo, Denis investiu R$ 4500,00, ou seja, letra E

Obtenha o conjunto de todos os valores inteiros de K, de modo que K + 17 seja múltiplo de K - 4:

Resolução:

Dizer que (k + 17) é múltiplo de (k - 4) é o mesmo que (k + 17) ser divisível por (k - 4).

Lembre que toda divisão é uma fração!

Teremos então:  

Observe que um número pode ser escrito de várias formas. Por exemplo: o 10 podemos escrever como 2 x 5 ou 5 + 5 ou 12 - 2 = etc...

Assim, vamos escrever o 17 da forma 21 - 4. 

Arrumando os termos e separando as frações ficamos com:

Na primeira fração temos resultado igual a 1, pois o denominador = numerador.

Vamos analisar a segunda fração.

D (21) = {-21, -7, -3, -1, 1, 3, 7, 21}

Para descobrir o valor de k basta igualar (k - 4) a cada divisor de 21.

k - 4 = - 21

k = - 21 + 4

k = - 17

k - 4 = - 7

k = - 7 + 4

k = - 3

k - 4 = - 3

k = - 3 + 4

k = 1

k - 4 = - 1

k = - 1 + 4

k = 3

k - 4 = 1

k = 1 + 4

k = 5

k - 4 = 3

k = 3 + 4

k = 7

k - 4 = 7

k = 7 + 4

k = 11

k - 4 = 21

k = 21 + 4

k = 25

k = {- 17, -3, 1, 3, 5, 7, 11, 25}

Origem dos símbolos para operações

A primeira vez que os sinais + e - apareceram impressos nas operações de adição e subtração foi, provavelmente, num livro de Johann Widman, da Universidade de Leipzig, na Alemanhã, em 1298.

Muitos historiadores levantaram a hipótese de que os símbolos + e - tenham sua origem na prática mercantil, onde indicavam excesso e falta, respectivamente. O sinal de +, como uma abreviatura da palavra latina "et" (E), ainda que aparecendo com o traço descendente não bem na vertical, foi encontrado num manuscrito de 1417.

O símbolo X para multiplicação foi atribuído a William Oughtred, em 1631, no seu livro Clavis Mathematicae. Já o símbolo : para indicar divisão foi usado pela primeira vez pelo suíço Johann Heinrich Rahn, num livro de álgebra publicado em 1659,

Harold T. Davis. Tópicos de História da Matemática.

Computação. São Paulo: Atual, 1995

Missão Camelo

Imagine um grande deserto no qual existem apenas duas cidades. Uma delas, Bagoananah, é famosa por sua produção de bananas; a outra, Dubaibuína, pelo consumo dessa fruta. O transporte de bananas entre as duas cidades é feito pelo camelo Almacaque.

O condutor do camelo sabe, no entanto, que:

* as duas cidades estão a 1 mil Km de distância
* Almacaque só consegue carregar 1 mil bananas de cada vez
* Almacaque come uma banana por quilômetro

Sabendo-se que há 2 mil bananas em Bagdananah, quantas bananas poderemos levar até Dubaibuína?

Poderíamos pensar que não muito o que fazer. Se Almacaque for carregado com 1 mil bananas e viajar diretamente até o ponto de entrega.... bem, ele terá comido todas elas, e o total entregue será zero.

Espere! Há uma alternativa.

O camelo pode carregar algumas bananas, deixá-las em um posto de abastecimento do percurso, voltar para Bagdananah, pegar mais bananas e seguir novamente rumo a Dubaibuína. Nossa tarefa é descobrir como fazer isso da melhor maneira possível.

Aqui entra a engenhosidade Matemática.

Enquanto o total de bananas for maior que  1 mil, Almacaque terá que, necessariamente, voltar a Bagdananah.

Se Almacaque carregar 1 mil bananas por 1 Km, deixar 998 em um posto de abastecimento, voltar, pegar mais 1 mil bananas e voltar ao posto, ele terá transladado, em 1 Km, um total de 998 + 999 = 1997 bananas, ou seja, terá consumido 3 bananas para esse 1 Km rumo a Dubaibuína.

Observe que ele deixou 998 bananas na 1ª parada pois 1 banana ele come na ida, e a outra ele irá comer no retorno a Dubaibuína para pegar as outras 1 mil bananas.

Moral da história: enquanto houver mais de 1 mil bananas, Almacaque consumirá 3 bananas em cada 1 Km rumo a Dubaibuína. Quando tivermos 1 mil bananas, ele passará a consumir 1 banana por km nessa jornada.

Note que, como o camelo só pode carregar 1 mil bananas por vez, se tivermos mais de 1 mil bananas ele terá que retornar para buscar o restante. Com isso irá percorrer 3 Km (ida + volta + ida) e conseguirá transportar 1997 bananas.

Observe o quadro:

Km	Bananas Transportadas
1	1997
2	1994
3	1991
4	1988
5	1985
. . .	. . .
x	1000

Teremos então, uma Progressão Aritmética (P.A.), onde o 1° termo é 1997, o último termo é 1000 e a razão é - 3.

Dados:

a₁ = 1997

a_n  = 1000

r =  – 3

Termo Geral: a_n = a₁ + (n – 1) . r

1000 = 1997 + (n - 1) . (-3)

1000 = 1997 - 3n + 3

1000 = 2000 - 3n

1000 - 2000 = -3n

- 1000 = - 3n   ---> multiplica os dois lados por -1

1000 = 3n

n = 1000 / 3 ----> quociente: 333 e resto: 1

Isso significa que ele chega ao quilômetro 333 com 1001 bananas. Nesse ponto ele descarta essa 1 banana e leva as 1 mil bananas até Dubaibuína. 

Como ele já percorreu 333 km, estarão faltando 667 Km (1000 - 333 = 667). Já que ele come 1 banana a cada 1 km até chegar ao destino ele comerá 667 banana, restando dessa forma 333 bananas (1000 - 667 = 333).

Portanto, poderemos levar até Dubaibuína 333 bananas.

Observação:
Problema retirado do livro Qual o problema? de Marco Morioconi - Instituto Ciência Hoje - FAPERJ

Os trechos em roxo e rosa foram transcritos do livro. A tabela e os trechos em azul são considerações feitas por mim, por achar que seria de melhor entendimento do que a linguagem teórica utilizada no livro.

Na Terra dos Noves Fora

Noves fora é o resto da divisão por 9.

Vamos montar uma tabela:

0 noves fora 0	9 noves fora 0	18 noves fora 0	27 noves fora 0
1 noves fora 1	10 noves fora 1	19 noves fora 1	28 noves fora 1
2 noves fora 2	11 noves fora 2	20 noves fora 2	29 noves fora 2
3 noves fora 3	12 noves fora 3	21 noves fora 3	30 noves fora 3
4 noves fora 4	13 noves fora 4	22 noves fora 4	31 noves fora 4
5 noves fora 5	14 noves fora 5	23 noves fora 5	32 noves fora 5
6 noves fora 6	15 noves fora 6	24 noves fora 6	33 noves fora 6
7 noves fora 7	16 noves fora 7	25 noves fora 7	34 noves fora 7
8 noves fora 8	17 noves fora 8	26 noves fora 8	35 noves fora 8

Podemos perceber que os restos da divisão por 9 são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8

Mas como encontrar o resto da divisão por 9 de forma rápida e sem fazer a conta?

Repare que o resto será sempre a soma dos algarismos do dividendo, excluindo o 9.

Ex: 
14 noves fora 5, pois 1 + 4 = 5
29 noves fora 2, pois excluímos o 9 e sobra apenas o 2
145 noves fora 1, pois 4 + 5 = 9 (exclui) e sobra o 1
3863 noves fora 2, pois 6 + 3 = 9 (exclui) e 3 + 8 = 11 --> como ainda temos dois algarismos continuamos somando. 1 + 1 = 2

Pronto! Agora você já pode encontrar o resto da divisão por 9 ou saber se um número é divisível por 9 de forma simples e rápida.

Qual a metade de 2¹⁰⁰  ?

Resolução:

Essa é bem simples!!!!

Vamos usar a propriedade da potência: 

"Para dividir potências de mesma base, basta manter a base e subtrair os expoentes"

Metade --> estamos dividindo por 2

2¹⁰⁰ / 2

Aplicando a propriedade teremos: 2^{100 – 1} = 2 ⁹⁹