Questão 28: 2º Exame de Qualificação - Uerj 2014

O gráfico abaixo mostra o segmento de reta AB, sobre o qual um ponto C (p, q) se desloca de A até B (3, 0).

O produto das distâncias do ponto C aos eixos coordenados é variável e tem valor máximo igual a 4,5.
O comprimento do segmento AB corresponde a:

(A) 5

(B) 6

(C) 

(D) 

Resolução:

Observe a semelhança dos triângulos:

Resposta: Letra (C)

Nível: Médio

41,45% dos candidatos acertaram a questão

Conceitos:

* Semelhança de Triângulos
* Equação do 2° grau

* Teorema de Pitágoras

Questão 28: 1° Exame de Qualificação - UERJ 2014

Em um recipiente com a forma de um paralelepípedo retângulo com 40 cm de comprimento, 25 cm de largura e 20 cm de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas esferas, cada uma com volume igual a 0,5 cm^3. Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; na segunda, duas; na terceira, quatro; e assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa.
Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezível.
Considerando 2¹⁰ = 1000, o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas seja maior do que o volume do recipiente é:

(A) 15

(B) 16

(C) 17

(D) 18

Resolução:

Primeiro vamos calcular o volume do paralelepípedo:

Agora teremos que encontrar a quantidade de esferas que juntas ultrapassarão o volume de 20 000 cm³.

Volume de cada esfera = 0,5 cm³  --> para facilitar a compreensão da resolução iremos usar o volume na forma fracionária  = 1/2 cm³

Observe a tabela:

* Na terceira coluna o expoente sempre será uma unidade a menos do que a etapa.

ex.: na 4ª etapa o expoente será 3

dessa forma o expoente da última etapa, que aqui chamamos de n, será n - 1 (conforme a tabela)

* O volume acrescentado em cada etapa forma uma PG,portanto para encontrar o volume total de esferas que já foi colocado dentro do recipiente basta encontrar a soma dos termos dessa PG.

Observe o exemplo:

Até a 4ª etapa tínhamos um volume total de esferas:

1/2 + 1 + 2 + 4 = 15/2 cm³ (ou 7,5 cm³)

Teremos que calcular:

Resposta: Letra (B)

Nível: Médio

33,39% dos candidatos acertaram a questão

Conceitos:

* Volume do Paralelepípedo

* PG

* Potência

Instruções Específicas para os Candidatos às Vagas do Sistema de Cotas - UERJ

1.DAS INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES
1.1 Para concorrer às vagas reservadas pelo sistema de cotas, o candidato deverá: 
a) preencher os requisitos indicados no item 1.5 do Edital para um dos grupos de cotas; 
b) atender à condição de carência socioeconômica definida como renda per capita mensal bruta igual ou inferior a R$ 1.086,00 (mil e oitenta e seis reais) das pessoas relacionadas no Formulário de Informações Socioeconômicas. 

1.2 A renda per capita mensal bruta será calculada dividindo-se o somatório dos valores da renda mensal bruta, ou seja, sem descontos, de todas as pessoas do grupo familiar, pelo número de pessoas relacionadas no Formulário de Informações Socioeconômicas, inclusive as crianças e o próprio candidato. 

1.3 A comprovação da condição de carência socioeconômica e dos requisitos necessários para ingressar por um dos grupos de cotas dar-se-á pela análise da documentação indicada neste Anexo, a ser encaminhada em envelope, juntamente com o Formulário de Informações Socioeconômicas, ao Departamento de Seleção Acadêmica (DSEA), localizado na Rua São Francisco Xavier, nº 524, Pavilhão João Lyra Filho, 1º andar, bloco F, sala 1141, Maracanã, Rio de Janeiro, CEP 20550-013, na modalidade de postagem registrada, no período indicado no calendário (Anexo 1). 

1.4 A análise da documentação comprobatória da carência socioeconômica e da opção de cota será realizada por comissões técnicas, respectivamente denominadas Comissão de Análise Socioeconômica e Comissão de Análise de Opção de Cota, sendo esta última subdividida por grupos de cota. 

1.5 A Comissão de Análise Socioeconômica confrontará a documentação encaminhada com as informações prestadas no Formulário de Informações Socioeconômicas, podendo utilizar, também, outros instrumentos técnicos, com o objetivo de confirmar a veracidade da condição de carência socioeconômica do candidato. 

1.6 Será de inteira responsabilidade do candidato o envio da documentação contendo o valor da renda bruta mensal atualizada que possibilite a realização do cálculo da renda per capita por parte da Comissão de Análise Socioeconômica e, por conseguinte, a caracterização da condição de carência

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QUEM TEM DIREITO A COTA:

1.5 Em cumprimento à Lei Estadual nº 5346/2008, que dispõe sobre o sistema de cotas, fica reservado, para os candidatos comprovadamente carentes, um percentual de 45% (quarenta e cinco por cento) das vagas oferecidas na UERJ e no UEZO, distribuído pelos seguintes grupos de cotas:
a) 20% (vinte por cento) para estudantes negros e indígenas;
b) 20% (vinte por cento) para estudantes oriundos da rede pública de ensino;
c) 5% (cinco por cento) para pessoas com deficiência, nos termos da legislação em vigor, e filhos de policiais civis e militares, de bombeiros militares e de inspetores de segurança e administração penitenciária, mortos ou incapacitados em razão do serviço.

      1.5.1 Em conformidade com a Lei Estadual nº 5346/2008, entende-se por:
a) negro e indígena – aquele que se autodeclarar como negro ou como indígena;
b) estudante oriundo da rede pública de ensino – aquele que tiver cursado integralmente todas as séries do 2º ciclo do ensino fundamental, ou seja, do 6º ao 9º ano, e todas as séries do ensino médio em escolas públicas de todo o território nacional;
c) pessoa com deficiência – aquela que atender às determinações estabelecidas na Lei Federal nº 7853/1989 e pelos Decretos Federais nº 3298/1999 e nº 5296/2004;
d) filho de policiais civis e militares, de bombeiros militares e de inspetores de segurança e administração penitenciária, mortos ou incapacitados em razão do serviço – aquele que apresentar a certidão de óbito juntamente com a decisão administrativa que reconheceu a morte em razão do serviço ou a decisão administrativa que reconheceu a incapacidade em razão do serviço, além da fotocópia autenticada do Diário Oficial com as referidas decisões administrativas.

      1.5.2 O candidato às cotas reservadas para estudantes negros e indígenas, em caso de declaração falsa, estará sujeito às sanções penais, previstas no Decreto-lei nº 2848/1940 (Código Penal, artigos 171 e 299), administrativas (nulidade de matrícula, dentre outros) e civis (reparação ao erário), além das sanções previstas nas normas internas da UERJ

      1.5.2.1 O candidato matriculado, ao longo do curso, poderá ser convocado por comissões específicas da Universidade para verificação da afirmação contida na declaração.

2° Exame de qualificação da Uerj - 2014

Na figura a seguir, estão representados o triângulo retângulo ABC e os retângulos semelhantes I, II e III, de alturas h₁, h₂ e h₃ respectivamente proporcionais às bases  ,  e .

  

Se  = 4 m e  = 3 m, a razão  é igual a:

(A) 5

(B) 4

(C) 3

(D) 2

Resolução:

Como o triângulo ABC é retângulo em A, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa BC (lembre que a hipotenusa sempre será o lado oposto ao ângulo reto).

Teorema de Pitágoras

(hipotenusa)² = (cateto 1)² + (cateto 2)²

dados:
hipotenusa = lado BC

cateto 1 = lado AB = 3 m

cateto 2 = lado AC = 4 m

Aplicando no teorema, teremos:

BC² = 3² + 4²

BC² = 9 + 16

BC² = 25   (aplicando raiz quadrada nos dois membros...)

BC = 5   

Como no enunciado diz que h1, h2 e h3 são proporcionais a BC, AC e AB, temos que:

Sendo k a constante de proporção.

Agora vamos aplicar na razão pedida:

Resposta: Letra (A)

Nível: Médio

62,07% dos candidatos acertaram a questão

Conceitos: 

* Teorema de Pitágoras

* Proporção

João perdeu 20% do seu peso de tanto estudar para um concurso, após esse susto, começou a se alimentar melhor e acabou tendo dois aumentos sucessivos de 25% do seu peso nos dois meses seguintes a prova. Com o excesso de peso, resolveu entrar em regime e perdeu 30%. Qual o peso de João em relação ao peso que tinha no início?

Resolução:

0,8 . 1,25 . 1,25 . 0,7 = 0,875 (Valor Final do Peso)

1 - 0,875 = 0,125

Houve perda de 12,5% do peso inicial.

Fatoração

Complete com números os termos desconhecidos:











Resolução:

Basta fazer do final para o começo: 

F = 1 x 5 = 5
E = 5 x 5 = 25
D = 25 x 3 = 75
C = 75 x 2 = 150
A = 150 x B  -- aparentemente não teríamos como saber qual o valor de B, porém toda fatoração deve ser iniciada com o menor número primo possível e nesse caso como já tem um 2 na segunda linha e ele é o menor número prima, então o B só poderá também ser 2.
Logo B = 2, e

A = 150 x 2 = 300

Análise Combinatória

Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se, entre as 10, duas somente não podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva?

Resolução:

1°) Faremos a conta sem as duas substâncias que não podem se misturar. Dessa forma teremos que escolher 6 substâncias entre as 8 disponíveis. (Como tiramos duas: 10 - 2 = 8)

C(8,6) = 8! : [6!(8 - 6)!]
C(8,6) = (8 . 7 . 6!) :(6!2!)
C(8,6) = (8 . 7 ) : (2 . 1)
C(8,6) = 56 : 2
C(8,6) = 28

2°) Agora iremos escolher uma das substâncias que retiramos e escolher mais 5 das demais para formar as 6 substâncias.

C(8,5) = 8! : [5!(8 - 5)!]
C(8,5) = (8 . 7 .  6 . 5!) : (5!3!)
C(8,5) = (8 . 7 . 6) : (3 . 2)
C(8,5) = (8 . 7 . 6) : 6
C(8,5) = 8 . 7
C(8,5) = 56

3°) Agora fixamos a segunda substância teremos outra combinação de 5 em 8.
C(8,5) = 56
 
Logo teremos: 28 + 56 + 56 = 140

Ao todo teremos 140 formas de associar essas 6 substâncias sem causar explosão.